Notes/Mathematics

Group Theory, Lie Group, Lie Algebra

muliphen 2021. 4. 10. 23:56

Group Theory

Lie Group(리 군)에 대해 알아보기에 앞서 Group의 정의와 표현에 대해서 알아보고자 한다.

보통 matrix group에 우리가 관심을 가지는데 SU(N),O(N),SP(N),⋯SU_{(N)},O_{(N)},SP_{(N)},\cdots 들이 있는데 특히 SU(2)SU_{(2)}와 SU(3)SU_{(3)}에 대해서 아는것이 중요하다.

정의:

G={g1,g2,⋯ }∃⋅:s.t.(1) g1⋅g2∈G (⋅ closed)(2) (g1⋅g2)⋅g3=g1⋅(g2⋅g3) (associativity)(3) ∃1,g⋅1=1⋅g=g(4)∃g−1, for all g∈G (x⋅g=1→x=g−1)G=\ \\ {}^\exist{\cdot}:s.t. \\ (1) \ g_1\cdot g_2\in G \ (\cdot \ closed)\\ (2)\ (g_1\cdot g_2)\cdot g_3=g_1\cdot(g_2 \cdot g_3) \ (associativity) \\ (3) \ {}^\exist 1, g\cdot 1 = 1 \cdot g = g \\ (4) {}^\exist g^{-1},\ for\ all\ g\in G \ (x\cdot g = 1 \rightarrow x=g^{-1})

위의 조건들을 만족하는 집합을 group이라고 부른다.

O(N)O(N) Group

O(N)O_{(N)} Group은 AAT=1AA^T=1인 특성을 가지는데 NN dimensional vector space에서의 rotation group이다.

예를들어 R∈3×3R\in3\times3 이면, RR의 column들은 orthonormal basis 이며 각각의 column들은 orthonormal하다. 즉 ri^⋅rj^=δij\hat\cdot\hat=\delta_이며 ∣∣RX⃗∣∣=∣∣X⃗∣∣||R\vec||=||\vec||이다.

NN dimension의 R\mathbb(orthonormal group)의 element가 몇개인가 = R\mathbb의 independent element가 몇개인가?

ri^⋅rj^=δij\hat\cdot\hat=\delta_가 constraint이므로 constraint의 갯수는 N+12N(N−1)N+\fracN(N-1)이며 전체 원소의 갯수가 N2N^2이므로 O(N)O_{(N)} group의 dimension은 12N(N−1)\fracN(N-1)이 된다.

U(N)U(N) Group

U(N)U_{(N)} Group은 unitary group이라고 하는데 UU†=U†U=1UU^{\dagger}=U^{\dagger}U=1을 만족하는 group이다.

UU의 column들을 ai⃗\vec라고 하면 (ai⃗,aj⃗)=ai∗⃗aj⃗=δij(\vec,\vec)=\vec\vec=\delta_가 constraint가 된다. 원래는 N2N^2개의 complex parameter가 존재하므로 2N22N^2개의 real parameter가 존재하게 된다. 그런데 constraint가 i≠ji\neq j인 경우 complex가 12N(N−1)\fracN(N-1)개가 있으므로 parameter수는 2배인 N(N−1)N(N-1) 이고 만약 i=ji=j이면 real이 NN개가 있으므로 총 N2N^2개의 constraint가 있게 된다. 그러므로 dim⁡U(N)=N2\dim U_{(N)}=N^2이다. det⁡(U)=1\det(U)=1이라면 constraint가 추가되므로 이를 SU(N)SU_{(N)}그룹이라 부르고 dim⁡SU(N)=N2−1\dim SU_{(N)}=N^2-1이 된다. 이 추가된 constraint에 대해서 설명하자면

UU†=1det⁡U(det⁡U)∗=1∴det⁡U=eiθUU^\dagger=1 \\ \det U (\det U)^* =1 \\ \therefore \det U=e^

원래 UU의 determinant는 위와 같은데 θ=0\theta=0으로 정해지는 constraint가 생기면서 복소평면의 원 공간이 하나의 점으로 줄어들면서 차원이 하나 줄게된다.

Group Homomorphism

그룹 G,G′G, G^\prime가 있고 함수 f:G→G′f:G→G^{\prime}가 있을때

f(g1)=g1′,f(g2)=g2′f(g1)⋅f(g2)=f(g1⋅g2)f(g_1)=g_1^\prime, f(g_2)=g_2^\prime \\ f(g_1)\cdot f(g_2)=f(g_1\cdot g_2)

위의 조건을 만족하면 Group G,G′G,G^\prime가 homomorphic 하다고 하고 ff를 homomorphism이라고 한다. 연산을 보존한다는 말로 두 그룹을 거의 같다고 봐도 된다는 얘기라고 한다. 만약 ff가 1:1 대응이라면 isomorphism이라고 하고 두 그룹은 identical 하다고 한다.

Homomorphism of SU(2), O(3)

Pauli matrix라 불리는 특별한 matrix

σ1=(0110),σ2=(0−ii0),σ3=(100−1)\sigma_1 = \begin0 & 1\\1 &0\end, \sigma_2 = \begin0 & -i\\i &0\end, \sigma_3 = \begin1 & 0\\0 &-1\end

들이 존재하고 다음과 같은 성질이 있다.

σ1σ2=iσ3σ2σ3=iσ1σ3σ1=iσ2σ12=σ22=σ32=1\sigma_1\sigma_2=i\sigma_3 \\ \sigma_2\sigma_3=i\sigma_1 \\ \sigma_3\sigma_1=i\sigma_2 \\ \sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma_3^2=1

M(x⃗)=x1σ1+x2σ2+x3σ3=x⃗⋅σ⃗=(x3x1−ix2x1+ix2−x3)M(\vec{\mathsf})=\mathsf_1\sigma_1+\mathsf_2\sigma_2+\mathsf_3\sigma_3=\vec{\mathsf}\cdot\vec{\sigma}=\begin\mathsf & \mathsf-i\mathsf\\\mathsf+i\mathsf & -\mathsf \end 라고 하고 x⃗∈R3\vec{\mathsf}\in\mathbb^3 라고 하자. x′⃗=Rx⃗⃗\vec{\mathsf^\prime}=R\vec{\mathsf{\vec}} 라는 회전변환(SU(2))이 있고 이 값에 대응하는 M(x′⃗)M(\vec{\mathsf^\prime}) 가 있다고 하면 M(x⃗)M(\vec{\mathsf})에 SU(2)를 곱해서 M(x′⃗)M(\vec{\mathsf^\prime})를 만들 수 있을지 즉, 주어진 RR에 대해서 적당한 UU를 찾아 M′=M(x′⃗)=UM(x⃗)U†M^\prime=M(\vec{\mathsf^\prime})=UM(\vec{\mathsf})U^\dagger를 만족할 수 있을지를 알아보고자 한다.

In general 하게 푸는 것은 어렵기에 가장 간단한 rotation으로 z축으로 α\alpha만큼 회전한 matrix RR이 있다고 하고 UU를 다음과 같이 정의해 본다.

Rz(α)=(cos⁡α−sin⁡α0sin⁡αcos⁡α0001)U=(eiβ00e−iβ)R_z(\alpha)=\begin\cos{\alpha} & -\sin{\alpha} & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha &0 \\ 0&0&1\end \\ U=\begine^&0\\0&e^{-i\beta}\end

UMU†UMU^\dagger를 계산해보면

U(x3x1−ix2x1+ix2x3)U†=(eiβ00e−iβ)(x3x1−ix2x1+ix2x3)(e−iβ00eiβ)=(x3e2iβ(x1−ix2)e−2iβ(x1+ix2)−x3)U\begin\mathsf & \mathsf-i\mathsf \\ \mathsf+i\mathsf & \mathsf\endU^\dagger \\=\begine^ & 0 \\0&e^{-i\beta}\end\begin\mathsf & \mathsf-i\mathsf \\ \mathsf+i\mathsf & \mathsf\end\begine^{-i\beta} & 0 \\0&e^\end\\=\begin\mathsf & e^(\mathsf-i\mathsf)\\e^{-2i\beta}(\mathsf+i\mathsf) & -\mathsf\end

RMRM을 계산해보면

RM=(cos⁡α−sin⁡α0sin⁡αcos⁡α0001)(x1x2x3)=(cos⁡αx1−sin⁡αx2sin⁡αx1+cos⁡αx2x3′)RM=\begin\cos\alpha&-\sin\alpha&0\\\sin\alpha&\cos\alpha&0\\0&0&1\end\begin\mathsf_1\\\mathsf_2\\\mathsf_3\end=\begin\cos\alpha\mathsf_1-\sin\alpha\mathsf_2\\\sin\alpha\mathsf_1+\cos\alpha\mathsf_2\\\mathsf_3^\prime\end

이므로

(x3e2iβ(x1−ix2)e−2iβ(x1+ix2)−x3)=(x3′x1′−ix2′x1′+ix2′x3′),(cos⁡2β+isin⁡2β)(x1−ix2)=(cos⁡2βx1+sin⁡2βx2)+i(sin⁡2βx1−cos⁡2βx2),cos⁡2βx1+sin⁡2βx2=cos⁡αx1−sin⁡αx2,sin⁡2βx1−cos⁡2βx2=sin⁡αx1+cos⁡αx2β=−α2\begin\mathsf & e^(\mathsf-i\mathsf)\\e^{-2i\beta}(\mathsf+i\mathsf) & -\mathsf\end=\begin\mathsf^\prime & \mathsf^\prime-i\mathsf^\prime \\ \mathsf^\prime+i\mathsf^\prime & \mathsf^\prime\end,\\(\cos2\beta+i\sin2\beta)(\mathsf_1-i\mathsf_2)=(\cos2\beta\mathsf_1+\sin2\beta\mathsf_2)+i(\sin2\beta\mathsf_1-\cos2\beta\mathsf_2),\\\cos2\beta\mathsf_1+\sin2\beta\mathsf_2=\cos\alpha\mathsf_1-\sin\alpha\mathsf_2, \sin2\beta\mathsf_1-\cos2\beta\mathsf_2=\sin\alpha\mathsf_1+\cos\alpha\mathsf_2 \\ \beta=-\frac{\alpha}

이렇게 UU를 구할 수 있고 다음과 같은 대응관계가 성립하고 둘 사이의 homomorphism을 찾은 것이다. x,yx,y축에 대해서도 같은 식으로 구할 수 있다.

Rz(α)⟺U=(e−iα200eiα2)R_z(\alpha) \Longleftrightarrow U=\begine^{-i\frac{\alpha}}&0\\0&e^}\end

지금까지 간단한 케이스로 이를 보였지만 U=eiαiσiU=e^(여기서는 i=3i=3 에 대해서만 함)의 형태로 나타내고 αi\alpha_i가 주어지면 결국 이에 대응하는 RR을 construction 할 수 있다. 여기서 eiαiσie^를 taylor expasion을 하면 ∑(−1)nαi2n(2n)!+i∑(−1)nαi2n(2n+1)!=cos⁡αi+iσisin⁡αi\sum\frac{(-1)^\alpha_i^}{(2n)!}+i\sum\frac{(-1)^n\alpha_i^}{(2n+1)!}=\cos\alpha_i+i\sigma_i\sin\alpha_i 이다. σi\sigma_i는 hermitian matrix이므로 결국 임의의 unitary matrix는 hermitian matrix를 이용해 나타낼 수 있다(U=eiαHU=e^ ). 정리하자면 unitary matrix를 hermitian matrix의 exponential 형태로 나타낼 수 있고 거기에서 α\alpha가 주어지면 이에 대응하는 RR을 찾을 수 있기에 SU(2)와 SO(3)는 homomorphic 하다고 볼 수 있다.

Lie Group, Lie Algebra

Lie Group은 노르웨이의 수학자 Sophus Lie가 고안한 이론으로 Lie는 갈로아가 발견한 다항식의 해를 찾는 공식이 존재하는 상황이 그 주어진 다항식의 해의 대칭성에 기인한다는 위대한 대수학의 발경에 감동을 먹고서 미분방정식에서도 대칭성의 이론을 찾아낼 수 있지 않을까하는 접근을 시도 하였다고 한다.

이러한 시도로부터 그는 기존의 유한 집합이 아니라 그룹의 원소가 무한대이고 오른쪽 혹은 왼쪽 이동에 대해서 대칭성을 가지고 연속적이며 미분가능한 smooth manifold가 되는 집합을 발견하게 되었고 우리는 이를 Lie Group이라 부른다.

그러면 이러한 Lie Group은 어떻게 얻는 것인가 하면 연속변환을 통해서 얻는다고 하는데 좌표변환을 생각해보면 기존의 좌표계에서 새로운 좌표계로의 선형변환을 우리는 주로 사용했는데 이러한 좌표변환이 한번만 일어나는것이 아니라 시간에 따라서 연속적으로 이루어진다고 하면 coordinate가 연속적으로 변하는 상황이 발생하고 이에 따라서 어떤 점 P(x,y,z)P(x,y,z)의 좌표 또한 연속적으로 변하게 된다. 그리고 이러한 변환에 의해 그려지는 PP의 자취는 Lie Group을 이루게 된다. 예를 들어서 회전변환의 경우는 [0,2π][0,2\pi]의 원모양의 smooth manifold가 된다. 이러한 관점은 공간에서 물체의 움직임도 이러한 연속변환의 관점에서 바라볼 수 있게 해주며 Lie Group에서의 미분이라는 해석적 접근을 가능하게 한다.

Lie Group중에서 특히 unitary 그룹을 예로 들면 g=eiϵhg=e^가 group element인데 여기서 hh를 Lie algebra element라고 한다. 여기서 ϵ\epsilon이 매우 작다면 eiϵh≈1+iϵhe^\approx 1+i\epsilon h 로 나타낼 수 있다. 그러면 1+iϵh1+i\epsilon h는 1(identity element) 근방의 어떤 값들이고 이 값들은 Lie Group의 identity element 에서의 tangent space 위에 있다고 할 수 있으며 이 tangent space의 원점은 identity element가 되며 이 tangent space위의 모든 점을 Lie Algebra라고 한다고 한다.

tangent space의 basis를 generator(SiS_i)라고 하는데 h=∑ϵiSih=\sum\epsilon_iS_i라고 나타낼 수 있고 이러한 generator의 linear combination을 이용해 Lie group을 만들고자 했다. 그리고 [Si,Sj]=∑cijkSk[S_i,S_j]=\sum c_^k S_k 처럼 SiS_i와 SjS_j의 commutator를 SkS_k들의 linear combination으로 나타낼 수 있는데 그 이유는 Ri=eϵSiR_i=e^{\epsilon S_i}라고 하면 RiRjRi−1Rj−1R_iR_jR^{-1}_iR_j^{-1}는 e∑δiSie^{\sum\delta_iS_i}의 형태로 Lie Group의 또 하나의 element가 되는데 infinitesimal로 이 값을 계산하면 1+ϵiϵj[Si,Sj]1+\epsilon_i\epsilon_j[S_i,S_j]이 되고 이게 결국 1+δiSi1+\delta_iS_i와 같아지므로 [Si,Sj][S_i,S_j]를 다른 generator들의 linear combination으로 나타낼 수 있게 된다.

그래서 linear combination의 parameter에 의해서 Lie Algebra의 structure가 결정되고 이에 따라 Lie Group의 structure 또한 결정 된다. 따라서 Lie Group 상에서 어떤 문제를 풀기보다는 Lie Algebra 상에서 간단하게 풀어서 exponential을 통해서 Lie Group으로 변환할 수 있기에 Lie Algebra를 배우는 것이다.

SU(2) ∣ su(2)(abcd)      σ1,σ2,σ3dim⁡SU(2)=3,M⃗(x)=x⃗⋅σ⃗SU(2)\ |\ su(2) \\ \begina & b \\ c & d\end \ \ \ \ \ \ \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \\ \dim SU(2)=3, \vec(x)=\vec\cdot\vec{\sigma}

Lie Group의 곱셈 = Lie Algebra에서의 덧셈, su(2)의 generator(basis)는 pauli matrix이다.

g←eM(x)σ1σ2=−σ2σ1=iσ3[σ1,σ2]=σ1σ2−σ2σ1=2iσ3[σi2,σj2]=iϵijkσk2g \leftarrow e^ \\ \sigma_1\sigma_2=-\sigma_2\sigma_1=i\sigma_3 \\ [\sigma_1,\sigma_2] =\sigma_1\sigma_2-\sigma_2\sigma_1=2i\sigma_3 \\ [\frac{\sigma_i},\frac{\sigma_j}]=i\epsilon_\frac{\sigma_k}

여기서 ϵijk\epsilon_는 structure constant라고 부른다. H=ΣαiSiH=\Sigma\alpha_iS_i 에서 Si=σi2S_i=\frac{\sigma_i}이다.

지금까지 Lie Group에서 Lie Algebra로 변환하는 방법에 대해서만 배우고 Algebra가 vector space라는 것만 언급했는데 Algebra가 되기 위해서는 몇 가지 조건이 더 필요하다. 그래서 Algebra의 명확한 정의에 대해서 알아보고자 한다.

Algebra에서는 곱이 정의될 수 있는데 commutator로 정의된다. 두 element의 commutator를 취한 결과는 여전히 Lie Algebra의 element가 되는걸 앞에서 보였는데 이는 Lie Group의 closed-ness가 Lie Algebra의 곱을 commutator로 정의해 주는 것이다.

[Si,Sj]=icijkSk[S_i,S_j]=ic_^kS_k

Jacobi Identity

[Si,[Sj,Sk]]+[Sj,[Sk,Si]]+[Sk,[Si,Sj]]=0[Si,[Sj,Sk]]=[[Si,Sj],Sk]+[Sj,[Si,Sk]](Leibniz rule)[S_i,[S_j,S_k]]+[S_j,[S_k,S_i]]+[S_k,[S_i,S_j]]=0 \\ [S_i,[S_j,S_k]]=[[S_i,S_j],S_k]+[S_j,[S_i,S_k]] (Leibniz\ rule)

→ group이 associative하기 위해서 algebra가 만족시켜야 하는 rule

SU(2)의 형태

su(2)            M=ix⃗⋅σ⃗eM=ex⃗⋅σ⃗=1+ix⃗⋅σ⃗g=y0⋅1+iy⃗⋅σ⃗=(iy3+y0iy1+y2iy1−y2y0−iy3)su(2)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M=i\vec\cdot\vec{\sigma} \\ e^=e^{\vec\cdot\vec{\sigma}}=1+i\vec\cdot\vec{\sigma} \\ g=y^0\cdot1+i\vec\cdot\vec{\sigma}=\beginiy_3+y_0 & iy_1+y_2 \\ iy_1-y_2 & y_0-iy_3\end

su(2)는 det⁡g=1\det=1이므로 det⁡g=yo2+y32+y12+y22=1\det=y^2_o+y^2_3+y^2_1+y^2_2=1이 되어야한다. 이는 3차원 구 S3S^3의 형태로 생겼고 SU(2)와 SO(3) 또한 3차원 구처럼 생겼다고 봐고 된다.

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